Karmaşık Sayıların Temel Özellikleri
Karmaşık sayılar, reel ve imajiner bileşenlerden oluşan sayılardır. Genel biçimi
a + bi şeklindedir; burada
a reel,
b ise imajiner katsayıdır.
Temel Bileşenler
- Reel Bileşen: a, karmaşık sayının reel kısmını temsil eder.
- İmajiner Bileşen: b, karmaşık sayının imajiner kısmını temsil eder.
- İmajiner Birim: i, imajiner sayının tanımında kullanılan birimi ifade eder ve i² = -1 eşitliği ile tanımlanır.
Toplama ve Çıkarma İşlemleri
Karmaşık sayılar toplanırken ve çıkarılırken, reel ve imajiner bileşenler ayrı ayrı işlem yapılır.
- (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Çarpma ve Bölme İşlemleri
Karmaşık sayıların çarpımı ve bölümü, distributif ve birleşim yasalarına uyar.
- (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
- (a + bi) / (c + di) = ((a + bi)(c - di)) / (c² + d²)
Karmaşık Düzlem
Karmaşık sayılar, düzlemde bir nokta olarak gösterilir. Reel kısım x ekseninde, imajiner kısım y ekseninde temsil edilir.
Karmaşık Sayının Konjugatı
Bir karmaşık sayının konjugatı,
z̄ = a - bi şeklindedir. Konjugat, karmaşık sayının analizinde önemli bir rol oynar.
Bu özellikler, karmaşık sayılarla yapılan birçok matematiksel işlem ve teoremin temelini oluşturur.
