Matematikte Taylor serileri nasıl hesaplanır?

Taylor Serileri Nedir?

Taylor serileri, bir fonksiyonun belirli bir noktada türevleri kullanılarak polinom şeklinde ifadeye dökülmesidir. Bu, fonksiyonun o noktadaki davranışını anlamak için yararlıdır.

Hesaplama Adımları

Taylor serisini hesaplamak için aşağıdaki adımları izleyebilirsiniz:

• Fonksiyonu Belirleyin: Taylor serisini oluşturmak istediğiniz fonksiyonu tanımlayın, örneğin f(x).
• Hedef Noktayı Seçin: Seriyi genişletmek istediğiniz noktayı belirleyin. Bu genellikle a olarak adlandırılır.
• Türevleri Alın: Fonksiyonun a noktasındaki türevlerini hesaplayın. f(a), f'(a), f''(a), vb.
• Seriyi Oluşturun: Taylor serisini oluşturan formülü kullanın:
  • f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ...

Örnek

Bir örnek üzerinden açıklamak gerekirse:

• Fonksiyon: f(x) = e^x
• Seçilen nokta: a = 0
• Türevler: f(0) = 1, f'(0) = 1, f''(0) = 1, vb.
• Sonuç: Taylor serisi; f(x) = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... şeklinde olur.

Bu adımları izleyerek herhangi bir fonksiyonun Taylor serisini hesaplayabilirsiniz.